命题逻辑中的语法与语义,可靠性与完备性 |
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命题逻辑中的语法就是一些自然推导规则(Natural deduction rules)的集合。那自然推导规则又是什么?我们回到现实世界。现实世界中,我们常常会做一些推理。 例如,你肯定能: 从“我喜欢计算机科学,而且我也喜欢数学”中 推理出 “我喜欢计算机科学”。 你也能: 从“我经常编写程序,而且我也经常读书” 中 推理出 “我经常编写程序”。 我们并没有意识到自己是在做推理,但是我们确确实实完成了一次推理,确且地说,是两次。并且我们发现这两次推理具有高度统一的形式: A 而且 B 推出 A其中的A和B被称作命题。我们可以把命题理解为可以判断真假的句子。 例如,“我喜欢计算机科学”是一个命题,但是“我喜欢文学吗?”就不是一个命题。 对比一下自然语言中语法规则的产生,这一次,我们再次将这些在现实世界中广泛出现的推理形式抽象出来,把他们组成一个集 合,于是,我们就有了下面这组命题逻辑的自然推导规则集合。
图1 命题逻辑的自然推导规则 解释一下这些符号的含义,例如: φ ∧ ψ —— ∧ e1 φ 其中的 φ , ψ 我们叫做公式。公式可以是以下这些形式: p, q, p ∧ q, ¬ q, (p ∧ q) ∨ p, … 其中的 ∧ e1 ,我们叫做规则。e的意思是消除(elimination). 这条规则从 φ∧ψ 中消除了 ∧,只留下了前面的φ, e1 中的 1 就是指 φ,因为它排在第1个,对比一下 ∧ e2 就会明白了。 规则中的i表示引入(introduction). 规则的具体含义可参考1.至于其中的 ¬ , →, … ,我认为目前没有必要知道含义,你仅仅需要知道他们是一些推导规则就好了。虽然你们多半都知道含义,但是,现在把它们忘了吧。 请再一次又一次地记住,这些推导规则从现实世界中剥离出来后,就有了他们的独立性,和具体的含义无关,例如: φ ∧ ψ –——∧ e1 φ 我们只知道 φ 和 ψ 是命题,有真假,但是,不管他们是真是假,都不影响这条规则的成立。这一点请千万注意。 例如: φ = "我不喜欢计算机科学" (当然,这是假的) ψ = "我喜欢数学" 由上面的那条推导规则,可以推出φ,即"我不喜欢计算机科学",尽管这个结论是假的,但这和这条推导规则的成立无关。不能说, 这规则得出假的结论,所以这条规则就是不正确的。
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